Как математика помогает сохранить здравый смысл: теорема Байеса

Способ оценить свои шансы и перестать тревожиться

Какие сведения из школьной математики люди чаще всего применяют в повседневной жизни? Расчет процента по вкладу? Оценка пропорций? Вычисление площади стен при ремонте квартиры? Все это важно, но математика способна на большее. В сложной ситуации она помогает успокоиться. И мы не про подсчитывание овец перед сном. Познакомьтесь с формулой Байеса — верным средством преодолеть тревогу и страх.

Томас Байес и вероятность событий

Жил да был в XVIII веке в Лондоне священник и математик Томас Байес. Хотя он, очевидно, был уверен в Божьем промысле, больше всего на свете его интересовали вероятности разных событий. Теорема Байеса, о которой пойдет речь, стала краеугольным камнем теории вероятностей. 

Статья с этой теоремой была опубликована через пару лет после смерти Байеса. Надо думать, сам автор обращался к ней в трудные моменты, понимая большой практический смысл своей идеи. Теорема Байеса объясняет одну очень важную вещь: как рассчитать вероятность события, которого мы боимся. 

Теорема выражается формулой P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B). Объясним ее на простом примере.

У Марка третий день болит затылок. Наш герой мнителен и быстро начинает подозревать Ужасную болезнь. В формуле Байеса Ужасная болезнь — А, боль в затылке — В. Насколько вероятна Ужасная болезнь P(A|B)?

P(A) — вероятность Ужасной болезни (тут Марку требуется знать медицинскую статистику). Допустим, болезнь поражает лишь одного из десяти тысяч. Тогда P(A) = 0,0001.

P(B) — вероятность боли в затылки вне связи с конкретным диагнозом. Предположим, такова каждая десятая жалоба пациентов. P(B) = 0,1.

P(B|A) — вероятность боли в затылке у тех, кто в самом деле страдает Ужасной болезнью. Допустим, этот симптом весьма распространен. P(B|A) = 0,8.

Итак, Марк вычисляет вероятность худшего исхода. P(A|B) = 0,8 × 0,0001 / 0,1 = 0,0008.

Всего 0,08%.

Что помогла понять формула Байеса? Изначальное предположение Марка неочевидно, и кое-какие сведения расставляют все по местам.

Сохраняем ясность ума

Эта формула проясняет ум, смущенный, с одной стороны, обилием информации, с другой — подсознательными страхами. Теорема избавляет от желания хвататься за первое попавшееся предположение и сохранять ясность ума. Она побуждает обратиться к реальным показателям. Позволяет взвесить шансы.

Вот почему в книге Стивена Пинкера «Рациональность» формуле Байеса уделено немало внимания. Ее берут на вооружение знатоки ментальных моделей. Поисковики обязаны своей точностью формуле Байеса.

Важное замечание. Для того чтобы формула Байеса дала результат, нужны статистические данные. В их точности стоит быть уверенным.

Повторим основные элементы формулы:

P(A) — априорная вероятность интересующего нас события A до того, как мы собрали о нем побольше данных.

P(B) — общая вероятность события B.

P(B|A) — вероятность B, если А истинно.

P(A|B) — обновленная вероятность A.

Что вас беспокоит прямо сейчас? Возможно, формула Байеса — именно то, что вам нужно. И хорошее расположение духа зависит лишь от несложного подсчета.